ANALISI MATEMATICA II

Il corso ha la finalità di fornire allo studente le nozioni principali del calcolo differenziale ed integrale delle funzioni di più variabili, delle equazioni differenziali e degli sviluppi in serie di funzioni. Lo studente sarà capace, inoltre, di applicare le nozioni acquisite alla risoluzione di problemi derivanti dalla Fisica.

Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding). Lo studente apprenderà i concetti fondamentali del calcolo differenziale delle funzioni di più variabili e le sue applicazioni ai problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Imparerà a calcolare integrali doppi e tripli e integrali su curve e superfici. Approfondirà la teoria e i metodi risolutivi delle equazioni differenziali ordinarie.

Capacità di applicare conoscenza e di comprensione (Applying knowledge and understanding) Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dalla Fisica.

Autonomia di giudizio ( Making judgements) Lo studente sarà stimolato a studiare alcuni argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui potrà confrontarsi criticamente con gli altri studenti per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative ( Communication skills) La frequenza alle lezioni e la lettura di libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

Capacità di apprendimento ( Learning skills) Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso la preparazione dei seminari e delle esercitazioni sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi alla lavagna. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno esercitazioni guidate e seminari in occasione dei quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o argomenti di approfondimento. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Conoscenza degli argomenti fondamentali di Analisi Matematica 1 e Geometria.

Fortemente consigliata.

1. Successioni e serie di funzioni.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, integrabilità e derivabilità . Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze. Criteri di Cauchy- Hadamard e D’Alambert. Teorema di Abel.Derivazione e integrazione delle serie di potenze.Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor . Sviluppi in serie delle funzioni e^x, senx, cosx, log(1+x), arctgx, (1+x)^a . Cenni sulle serie di Fourier.

2. SPAZI METRICI.

Spazi metrici. Spazi normati. Intorni. Punti interni, di frontiera e di accumulazione. Interno, derivato, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati. Successioni di punti di uno spazio metrico. Convergenza. Completezza Insiemi sequenzialmente compatti. Funzioni tra spazi metrici. Teorema delle contrazioni. Caratterizzazione della chiusura di un insieme. Lo spazio euclideo Rⁿ. Disuguaglianze di Cauchy- Schwartz e di Minkowsky. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Insiemi internamente connessi.

3. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI.

Limiti di funzioni di più variabili . Continuità. Proprietà delle funzioni continue: Teoremi di esistenza degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Derivate parziali. Derivate successive. Lemma di Schwarz. Differenziabilità. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali. Derivazione delle funzioni composte. Formula di Taylor. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni definite mediante integrali. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Estremi relativi. Condizioni necessarie del 1° e 2° ordine .Condizione sufficiente del 2° ordine. Ricerca degli estremi relativi e assoluti.

4.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE .

Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo.Teorema di esistenza ed unicità globale.Risoluzione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, omogenee, lineari, di Bernoulli.. Equazioni differenziali lineari. Proprietà generali. Metodo della variazione delle costanti. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare.Equazione di Eulero. Cenni sui sistemi di equazioni differenziali lineari.

5.CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI.

Generalità sulle curve. Lunghezza di una curva.Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.

6. FUNZIONI IMPLICITE

Funzioni implicite. Il Teorema del Dini per le equazioni. Teorema sulla derivazione delle funzioni implicite. Determinante jacobiano.Massimi e minimi condizionati. Il metodo di esplicitazione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

7.FORME DIFFERENZIALI LINEARI

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme chiuse. Forme differenziali lineari su insiemi semplicemente connessi e su insiemi stellati.

6. INTEGRALI MULTIPLI

Misura secondo Peano-Jordan in Rⁿ. Integrale di Riemann.Condizioni per l’integrabilità.Proprietà dell’integrale di Riemann. Misura del cilindroide e degli insiemi normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili. Cenni sugli integrali generalizzati. Formule di Gauss.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

1. G. Fiorito, Analisi Matematica 2, Spazio Libri

2.N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica 2, Liguori

3. C.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli

4. M.Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Esculapio
5. P.Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.2, Parte I e II, Zanichelli.

L'esame consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 5 esercizi. Accedono al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.
Il colloquio orale dovrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. Esso sarà finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive.

Nel periodo 28 gennaio- 01 marzo si svolgerà una prova in itinere, che verte sulla parte di programma svolta.

La prova in itinere consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Superano la prova in itinere i candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.
Gli studenti che superano la prova in itinere accedono alla prova di fine corso, che si svolgerà alla fine delle lezioni e verterà sulla rimenente parte del programma.

La prova di fine corso consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 5 esercizi. Accedono al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.

La prenotazione per gli appelli d’esame, prova in itinere e di fine corso è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Esempi di domande frequenti

1. Relazione tra convergenza puntuale, uniforme e totale per le serie di funzioni.
2. Insieme di convergenza di una serie di potenze.
3. Sviluppi in serie.
4. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità.
5. Estremi relativi di una funzione di più variabili,: condizioni necessaria e sufficienti.
6. Rettificabilità e lunghezza di una curva.
7. Forme differenziali esatte e forme differenziali chiuse.
8. Integrale generale delle equazioni lineari omogenee.

Esempi di esercizi frequenti

1. Determinare gli estremi relativi e assoluti di una funzione di due variabili.
2. Determinare l’integrale generale di una equazione differenziale.
3. Calcolare un integrale doppio o triplo.
4. Calcolare l’integrale curvilineo di una forma differenziale.
5. Studiare una serie di funzioni.