ISTITUZIONI DI METODI MATEMATICI DELLA FISICA

Conoscenza e comprensione di elementi di analisi complessa, di analisi funzionale, e di calcolo delle probabilita' con applicazioni alla fisica (specificamente: meccanica quantistica e meccanica statistica).

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

Analisi matematica, Geometria.

Fortemente consigliata.

Elementi di analisi complessa:

1) Numeri complessi, operazioni e rappresentazioni. Formula di De Moivre e radici. Applicazioni in fisica.

2) Introduzione alle funzioni complesse di variabile complessa. Domini, definizioni e proprieta'. Limiti e continuita'. Derivate. Condizioni di Cauchy-Riemann e derivabilita'. Funzioni analitiche. Punti singolari. Funzioni analitiche e funzioni armoniche in fisica. Funzioni esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche e iperboliche.

3) Integrale curvilineo. Teorema integrale di Cauchy. Primitive. Teorema della primitiva. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per le derivate.

4) Sviluppi in serie di funzioni complesse. Convergenza e criterio del rapporto. Convergenza uniforme e criterio di Weierstrass. Teorema di Weierstrass. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di Taylor e sviluppi in serie di Taylor. Sviluppi di funzioni elementari. Teorema di Laurent e serie di Laurent.

5) Metodo dei residui. Residui in poli di ordine m. Teorema dei residui. Integrali impropri di funzioni razionali. Integrali di funzioni trigonometriche razionali. Integrali di Fourier.

Elementi di analisi funzionale:

1) Introduzione agli spazi vettoriali. Equazioni differenziali lineari. Stati di polarizzazione della luce. Spazi vettoriali, definizioni e proprieta'. Basi e dimensioni. Spazi vettoriali a dimensione finita. Prodotto scalare. Norma e distanza basati su un prodotto scalare. Basi ortonormali.

2) Operatori lineari. Rappresentazione matriciale di un operatore. Spazio dei polinomi. Polinomi di Her- mite. Composizione di due operatori. Operatori autoaggiunti. Cambiamento di basi e operatori unitari. Trasformazioni unitarie e trasformazioni di similarit`a.

3) Autovalori ed autovettori. Autospazio associato ad un autovalore, e denerazione dell’autovalore. Equazione secolare. Matrici ortogonali proprie e rotazioni in R3. Diagonalizzazione di matrici Hermitiane. Teorema fondamentale sulla diagonalizzazione di un operatore autoaggiunto. Applicazioni: Sistemi dinamici lineari. Circuiti elettrici accoppiati. Modi normali di vibrazione della molecola CO2. Operatori di proiezione. Funzioni di operatori.

4) Spazi vettoriali a dimensione infinita. Equazione di D’Alembert. Spazi normati. Spazi Euclidei. Norma come metrica e completezza di uno spazio. Lo spazio L2. Spazi di Hilbert. Teorema di Fourier. Sistemi ortonormali completi e spazi di Hilbert separabili. Identita' di Parseval. Lo spazio l2.

Elementi di teoria delle probabilita':

1) Sample space ed eventi. Definizione di probabilita' e sue proprieta'. Assiomi di Kolmogorov. Inclusione-esclusione per due e piu` eventi. Campionamenti. Ordinato e non ordinato, con e senza ripetizione/reinserzione. Coefficienti Binomiali. Particelle con spin 1/2. Paradosso del compleanno.

2) Probabilita` condizionata. Teorema delle probabilita` condizionate. Eventi indipendenti e mutualmente indipendenti. Indipendenza condizionata. Partizioni e teorema della probabilita' totale. Tecnica del condizionamento. Teorema di Bayes. Matrice di confusione

3) Variabili aleatorie. Funzione massa di probabilita', valore di aspettazione e varianza di prova di Bernoulli, binomiale, geometrica e Poisson. Eventi rari e decadimenti radioattivi. Reazioni allergiche ad un vaccino. Due o piu` variabili aleatorie. Distribuzione congiunta e distribuzioni marginali. Variabili indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione. Valori di aspettazione condizionata. Random walk.

4) Funzioni generatrici della probabilita'. Momenti, momenti centrati e momenti fattoriali. Funzioni generatrici di binomiale, geometrica e Poisson. Funzioni generatrici della somma di due variabili.

5) Variabili aleatorie continue. Distribuzione cumulativa e densita' di probabilita'. Distribuzioni uniforme, esponenziale e normale. Somma di n variabili aleatorie indipendenti. Teorema del limite centrale.

Testi consigliati

C. Bernardini, O. Ragnisco, P.M. Santini, Metodi matematici della Fisica, Carocci Editore 1999

C. Presilla, Elementi di analisi complessa (Springer, Milano, 2014).

G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica (Springer-Verlag, Italia 2008).

G. G. N. Angilella, Esercizi di Metodi Matematici della Fisica (Springer, Milano, 2011)

G. Fonte, Appunti di metodi matematici della fisica (Carocci, 2018)

CM Grinstead, JL Snell, Introduction to probability (Second revised Edition, American Mathematical Society 1997)

L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale, sugli argomenti del corso.

L'esame scritto comprende tipicamente due esercizi, dei quali uno verte su argomenti di analisi complessa e l'altro su argomenti di analisi funzionale o teoria dei gruppi. L'esame orale prevede la discussione di argomenti del corso.