GEOMETRIA A - L

L'obiettivo fondamentale del corso di Geometria è quello di fornire alcuni strumenti di Algebra Lineare per il calcolo di autovettori ed autovalori di un endomorfismo tra spazi vettoriali, quali ad esempio, le proprietà delle matrici. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, ed alcuni strumenti per lo studi di coniche del piano e quadriche dello spazio. In particolare, alla fine del corso, gli studenti dovranno aver acquisito:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali nell'ambito dell'algebra, della geometria analitica, dell'algebra lineare, della geometria delle curve; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute; - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso e di supporto integrativo al corso di Geometria I; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.

Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria analitica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento (learning skills): - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Lezioni frontali e svolgimento di esercizi in classe. Alcune lezioni si svolgeranno esclusivamente alla lavagna, altre mediante appunti da dividere agli studenti. Ciò dipenderà dal tipo di argomento trattato. Si ritiene di fondamentale importanza che gli studenti partecipino attivamente alle lezioni e dopo la lezione rivedano i principali argomenti trattati. Durante la lezione verranno proposti semplici esercizi di verifica sugli argomenti trattati, poiché la natura di tali esercizi sarà sempre di carattere elementare non si procederà a un controllo degli stessi ma qualora lo studente incontri delle difficoltà è invitato a discuterne immediatamente con il docente.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Gli studenti sono invitati a rivedere con particolare attenzione e senso critico gli argomenti di geometria euclidea nel piano: definizioni, postulati e teoremi principali. Analogamente rivedere i principali argomenti di geometria cartesiana nello spazio. Questi ultimi saranno comunque trattati in maniera esaustiva durante il corso, ma una familiarità con tali argomenti renderà più agevole la comprensione delle lezioni allo studente.

La frequenza alle lezioni è obbligatoria. Si consiglia inoltre agli studenti di partecipare in maniera attiva alle lezioni, di rivedere gli argomenti della lezione svolta e di affrontare gli esercizi di verifica che vengono proposti durante la lezione.

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):

1. Operazioni su un insieme.
2. Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà.
3. Spazi vettoriali e loro proprietà .
4. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
5. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari.
6. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
7. Prodotto scalare in uno spazio reale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali.

GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)

1. I vettori geometrici dello spazio ordinario.
2. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Rette reali del piano e loro equazioni. Ortogonalità e parallelismo. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze.
3. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Classificazione delle coniche irriducibili. Polarità. Fasci di coniche.
4. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Sezioni delle quadriche con piani tangenti. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica.
5. Cenni sugli spazi affini*

1. S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (Linear Algebra).
2. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (Geometria) disponibile su www.giuseppepaxia.com

a) Verifica durante il corso: Periodicamente, durante le esercitazioni gli studenti potranno essere invitati a partecipare risolvendo alla lavagna degli esercizi proposti dal docente o dagli studenti stessi. Questo risulta utile per monitorare il livello di apprendimento degli studenti. Durante le lezioni, inoltre, gli studenti saranno invitati a citare definizioni e risultati trattati nelle lezioni precedenti, per favorire un apprendimento consapevole della disciplina. Durante le ore di attività integrative saranno svolte delle esercitazioni utili all’autovalutazione.

b) esame finale: l'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale alla fine del corso. Per il superamento della prova scritta, della durata di circa tre ore, lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi, tecnici e dimostrativi. Si può accedere alla prova orale solo se si riporta una votazione non inferiore a 16/30 nella prova scritta. La prova orale è mirata particolarmente a verificare la chiarezza espositiva e la capacità di collegare fra loro diversi argomenti del programma.

c) criteri per l’attribuzione del voto: si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti.

l'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale e secondo il calendario degli esami. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi, tecnici e dimostrativi. La prova orale verte su tutti gli argomenti del programma svolto. Il docente avrà cura di pubblicizzare il calendario d'esame appena finito il corso e, comunque, prima dell'inizio della prima sessione d'esami.

La prova scritta è fissata secondo il calendario. La prova orale potrebbe anche non essere sostenuta nella data del calendario.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

1 Definizione di spazio vettoriale. Fornire alcuni esempi di spazio vettoriale. Definizione di applicazione lineare. Niucleo ed immagine di una applicazione lineare. Dimostrazione che il nucleo è un sottospazio. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Risoluzione di sistemi lineari. Vettori linearmente indipendenti, generatori, basi di uno spazio vettoriale. Criterio di indipendenza lineare. Studio di un'applicazione lineare. Autovalori ed autovettori, Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi semplici. Studio della semplicità di un endomorfismo. diagonalizzazione di una matrice. Controimmagine di un vettore rispetto ad una applicazione lineare.

2) Rette nel piano. Rette e piani nello spazio. Classificazione coniche: parabole, iperboli, ellissi. Costruzione e studio di fasci di coniche. Classificazione quadriche: iperboloidi, ellissoidi, parabolidi, sfere, coni e cilindri. Vertici.