DYNAMIC SYSTEMS, CHAOS AND COMPLEXITY

Acquisizione dei concetti fondamentali della teoria dei sistemi dinamici e della meccanica statistica classica. Il corso intende fornire agli studenti una introduzione graduale alla scienza dei sistemi complessi attraverso un percorso che, partendo dai sistemi dinamici - sia dissipativi che conservativi, sia continui che discreti - a pochi gradi di libertà, già in grado di manifestare comportamenti caotici, passi poi allo studio di sistemi a molti gradi di libertà, da affrontare per mezzo di un approccio statistico, con particolare attenzione ai fenomeni di non equilibrio, ai sistemi con interazioni a lungo raggio e a quelli al margine del caos. A questo proposito, accanto alla meccanica statistica classica standard (di Boltzmann-Gibbs) verrà introdotta anche una delle sue più importanti generalizzazioni, la cosiddetta meccanica statistica "non estensiva" di Tsallis, particolarmente adatta alle descrizione dei sistemi complessi in ambito fisico, biologico o socio-economico. In aggiunta alle nozioni teoriche, il corso prevede la presentazione dettagliata di numerosi esempi di applicazioni pratiche, al fine di consentire allo studente di acquisire le competenze relative ai metodi matematici e alle tecniche statistiche o computazionali necessarie per l'analisi di semplici sistemi dinamici a pochi o a molti gradi di libertà. Infine, verranno fornite allo studente anche nozioni di programmazione in ambiente NetLogo, software gratuito multipiattaforma orientato alle simulazioni ad agenti e qui adattato all'esplorazione dei sistemi dinamici a pochi e molti gradi di libertà. 

In riferimento ai Descrittori di Dublino, questo corso contribuisce ad acquisire le seguenti competenze trasversali:

Conoscenza e capacità di comprensione

• Capacità di ragionamento induttivo e deduttivo.
• Capacità di schematizzare un fenomeno naturale in termini di grandezze fisiche scalari e vettoriali.
• Capacità di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici o numerici.
• Capacità di effettuare l'analisi statistica dei dati.

Capacità di applicare conoscenza:

• Capacità di applicare le conoscenze acquisite per la descrizione dei fenomeni fisici utilizzando con rigore il metodo scientifico.
• Capacità di progettare semplici esperimenti ed effettuare l'analisi dei dati sperimentali ottenuti in tutte le aree di interesse della fisica, incluse quelle con implicazioni tecnologiche.

Autonomia di giudizio:

• Capacità di ragionamento critico.
• Capacità di individuare i metodi più appropriati per analizzare criticamente, interpretare ed elaborare i dati sperimentali.
• Capacità di individuare le previsioni di una teoria o di un modello.

Abilità comunicative:

• Buone competenze degli strumenti per la gestione dell'informazione scientifica e per l'elaborazione dei dati e le ricerche bibliografiche.
• Capacità di esporre oralmente, con proprietà di linguaggio e rigore terminologico, un argomento scientifico, illustrandone motivazioni e risultati.

Capacità di apprendimento

• Capacità di saper aggiornare le proprie conoscenze attraverso la lettura di pubblicazioni scientifiche, in lingua italiana o inglese, nei vari campi delle discipline fisiche, anche non specificamente studiati durante il proprio percorso formativo.

Il corso prevede 6 CFU (42 ore) di lezioni frontali, con applicazioni, esercizi e cenni all'ambiente di sviluppo NetLogo per lo sviluppo di simulazioni numeriche. Agli studenti verrà fornito, oltre alle slides delle lezioni, opportuno materiale software e audiovisivo.   

Bisogna conoscere:

(Indispensabili) i contenuti dei corsi di analisi matematica (1 e 2) e di geometria.

(Importanti) i contenuti del corso di fisica 1.

(Utili) il formalismo Hamiltoniano e i principi variazionali. 

La frequenza al corso è di norma obbligatoria (consultare il Regolamento Didattico del Corso di Studi)

Parte I – Introduzione alla nuova Scienza della Complessità

Dalla teoria del caos alla nuova scienza della complessità - Teoria delle catastrofi - Invarianza di scala, frattali e leggi di potenza

Criticità auto-organizzata (SOC) - Reti complesse: Small World e Scale Free - Automi cellulari di Wolfram e di Conway 

Sincronizzazione e modello di Kuramoto - Fenomeni emergenti al margine del caos - Sinergetica - Sociofisica ed Econofisica 

Computational Social Science - Introduzione alle simulazioni ad agenti: l’ambiente di sviluppo NetLogo. Interfaccia Utente e Linguaggio di Programmazione

Parte II – Sistemi dinamici a pochi gradi di libertà. Caos e Frattali

Sistemi dinamici continui (flussi) dissipativi - Spazio degli stati - Teorema di non-intersezione

Flussi in una dimensione - Attrattori a punto fisso - Punti fissi stabili (nodi) e instabili (repulsori) - Punti di sella (saddle points) - L’Equazione Logistica

Flussi in due dimensioni - Attrattori a punto fisso e a ciclo limite - Teorema di Poincarè-Bendixson - Equazioni di Lotka-Volterra e Brussellator - Sezione di Poincarè - Teoria delle biforcazioni - Biforcazione tangente o “saddle-node” - Biforcazione di Hopf

Flussi in tre dimensioni - Punti fissi e cicli limite in tre dimensioni - Piano di Poincarè - Matrice di Floquet - Stabilità dei cicli limite - Attrattori quasi-periodici - Rotte verso il caos - Caos omoclinico ed eteroclinico - Il modello di Lorenz - Esponenti di Lyapunov

Sistemi dinamici discreti (mappe) dissipativi - Mappe unidimencionali - La Mappa Logistica - Attrattori e diagramma di biforcazione - Le costanti di Feigenbaum - Caos ed esponenti di Lyapunov - Stretching and folding - Il margine del caos (“edge of chaos”)

Mappe dissipative bidimensionali - La mappa di Hénon - Autosimilarità e frattali - La curva di Koch - Dimensione frattale di box-counting e di correlazione - Dimensione di Haussdorf

Flussi Hamiltoniani (conservativi) - Equazioni di Hamilton - Spazio delle fasi - Teorema di Liouville - Costanti del moto e variabili azione-angolo - Sistemi integrabili e non integrabili - Sistemi Hamiltoniani in una dimensione - Oscillatore armonico come sistema dinamico - Il pendolo rigido conservativo e il pendolo forzato-smorzato

Flussi Hamiltoniani in più dimensioni - Il teorema KAM - Orbite periodiche, quasiperiodiche e caotiche - Il modello di Hénon-Heiles

Parte III – Sistemi dinamici a molti gradi di libertà. Termodinamica e Meccanica Statistica

Richiami di Termodinamica - L’equazione di stato dei gas perfetti - La prima legge della termodinamica - Applicazioni della prima legge - La seconda legge della termodinamica - Il teorema di Carnot - L’entropia - Potenziali termodinamici - La terza legge della termodinamica

La teorica cinetica secondo Boltzmann: lo spazio μ e la funzione di distribuzione - Collisioni binarie - Diffusione classica e quantistica - L’equazione del trasporto di Boltzmann - Il Teorema H - La distribuzione di Maxwell-Boltzmann - Teorema H ed Entropia - Vita e opera di Ludwig Boltzmann (film)

Meccanica statistica classica - Il teorema di Liouville - Teoria degli “Ensemble” di Gibbs - Il teorema ergodico - Postulato dell’equiprobabilità a priori - Media temporale e media di ensemble - L’ensemble microcanonico - Additività ed estensività dell’entropia - Termodinamica ed equazione di stato di un gas ideale classico in ensemble microcanonico

L’ensemble Canonico - La funzione di partizione canonica - Termodinamica di un gas ideale in ensemble canonico - Fluttuazioni di energia nell’ensemble canonico - Equivalenza tra gli ensembles canonico e microcanonico

Introduzione alla Meccanica Statistica Generalizzata - Complessità e interazioni a lungo raggio - Il modello HMF (Hamiltonian Mean Field model) - Assiomi di Kinchin e di Abe: entropie generalizzate - Termodinamica all’equilibrio del modello HMF - Anomalie dinamiche e stati quasistazionari - Dipendenza dal range di interazione - Meccanica statistica generalizzata - Sincronizzazione e modello di Kuramoto - Mappe logistiche accoppiate all’Edge of Chaos

Considerazioni cosmologiche intorno alla seconda legge della termodinamica, alla freccia del tempo e all’emergere della complessità nell’universo - Fine tuning e regolazione fine delle costanti fondamentali - Principio antropico debole e forte - Teorie del Tutto e modelli di Multiverso

1) Robert C. Hilborn, “Chaos and nonlinear dynamics”, Oxford University Press, 2nd Ed. 2000

2) Steven Strogatz, “Nonlinear dynamics and chaos”, Westview Press 2001

3) K. Huang, “Meccanica Statistica”, Zanichelli 1997

4) A.Pluchino, "La firma della complessità. Una passeggiata al margine del caos", Malcor D' Edizione 2015

5) C.Tsallis, "Introduction to nonextensive statistical mechanics: approaching a complex world", Springer 2008   

6) C. Gros, “Complex and adaptive dynamical systems”, Springer 2nd Ed. 2010

7) J.P. Sethna, “Entropy, Order parameters and Complexity”, Oxford University Press 2006

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi:

- Parlare dei sistemi dinamici dissipativi in due dimensioni;

- Cosa sono la Dimensione frattale e gli esponenti di Lyapunov?

- Quali rotte verso il caos conducono all'attrattore di Lorenz?

- Entropia e secondo principio della termodinamica;

- Spazio Mu e funzione di distribuzione di Boltzmann;

- Teoria degli ensemble di Gibbs;

- Fornire esempi di sistemi dinamici al margine del caos;

- Fornire esempi di sistemi con interazioni a lungo-raggio;

- Che differenza c'è tra un sistema complicato e uno complesso;