ANALISI MATEMATICA II

Modulo DIDATTICA FRONTALE

Il corso ha la finalità di fornire allo studente le nozioni principali del calcolo differenziale ed integrale delle funzioni di più variabili, delle equazioni differenziali e degli sviluppi in serie di funzioni. Lo studente sarà capace, inoltre, di applicare le nozioni acquisite alla risoluzione di problemi derivanti dalla Fisica.

Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding) Lo studente apprenderà i concetti fondamentali del calcolo differenziale delle funzioni di più variabili e le sue applicazioni ai problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Imparerà a calcolare integrali doppi e tripli e integrali su curve e superfici. Approfondirà la teoria e i metodi risolutivi delle equazioni differenziali ordinarie.

Capacità di applicare conoscenza e di comprensione (Applying knowledge and understanding) Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dalla Fisica.

Autonomia di giudizio (Making judgements) Lo studente sarà stimolato a studiare alcuni argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui potrà confrontarsi criticamente con gli altri studenti per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative (Communication skills) La frequenza alle lezioni e la lettura di libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

Capacità di apprendimento (Learning skills) Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso la preparazione dei seminari e delle esercitazioni sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi alla lavagna. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno esercitazioni guidate e seminari in occasione dei quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o argomenti di approfondimento. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Alle lezioni frontali sono riservati 10 CFU.

Alle esercitazioni sono riservati 2 CFU.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Gli studenti con disabilità e/o DSA sono invitati a rivolgersi al referente per il CINAP del DFA  e a programmare con il docente eventuali misure compensative in base alle specifiche esigenze.

E' utile la conoscenza degli argomenti fondamentali di Geometria.

1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, integrabilità e derivabilità . Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze. Criteri di Cauchy- Hadamard e D’Alambert. Teorema di Abel.Derivazione e integrazione delle serie di potenze.Formula di Taylor. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor . Sviluppi in serie delle funzioni ex, senx, cosx, log(1+x), arctgx, (1+x)a . Cenni sulle serie di Fourier.

2. SPAZI METRICI
Spazi metrici. Spazi normati. Intorni. Punti interni, di frontiera e di accumulazione. Interno, derivato, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati. Successioni di punti di uno spazio metrico. Convergenza. Completezza Insiemi sequenzialmente compatti. Funzioni tra spazi metrici. Teorema delle contrazioni. Caratterizzazione della chiusura di un insieme. Lo spazio euclideo Rn. Disuguaglianze di Cauchy- Schwartz e di Minkowsky. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Insiemi internamente connessi.

3. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
Limiti di funzioni di più variabili . Continuità. Proprietà delle funzioni continue: Teoremi di esistenza degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Derivate parziali. Derivate successive. Lemma di Schwarz. Differenziabilità. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali. Derivazione delle funzioni composte. Formula di Taylor. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni definite mediante integrali. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Estremi relativi. Condizioni necessarie del 1° e 2° ordine .Condizione sufficiente del 2° ordine. Ricerca degli estremi relativi e assoluti.

4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo.Teorema di esistenza ed unicità globale.Risoluzione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, omogenee, lineari, di Bernoulli.. Equazioni differenziali lineari. Proprietà generali. Metodo della variazione delle costanti. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare.Equazione di Eulero. Cenni sui sistemi di equazioni differenziali lineari.

5. CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI
Generalità sulle curve. Lunghezza di una curva.Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.

6. FUNZIONI IMPLICITE
Funzioni implicite. Il Teorema del Dini per le equazioni. Teorema sulla derivazione delle funzioni implicite. Determinante jacobiano.Massimi e minimi condizionati. Il metodo di esplicitazione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

7. FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme chiuse. Forme differenziali lineari su insiemi semplicemente connessi e su insiemi stellati.

8. INTEGRALI MULTIPLI
Misura secondo Peano-Jordan in Rn. Integrale di Riemann.Condizioni per l’integrabilità.Proprietà dell’integrale di Riemann. Misura del cilindroide e degli insiemi normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili. Cenni sugli integrali generalizzati. Formule di Gauss. Integrale di Lebesgue.

9. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Formula di Stokes e Teorema della divergenza

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. Il programma definitivo verrà pubblicato su Studium alla fine del corso.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

1. N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica 2, Zanichelli
2. C.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli
   
3. M.Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Esculapio
   
4. P.Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.2, Parte I e II, Zanichelli

L'esame finale consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta avrà la durata di 3 ore ed è composta da 4 o 5 esercizi. Accedono al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.

Il colloquio orale dovrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. Esso sarà finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive.

Durante la pausa tra il primo e il secondo periodo didattico si svolgerà una prova in itinere, che verte sulla parte di programma svolta.
La prova in itinere avrà la durata di 3 ore e consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla
B) esercizi tecnici

Superano la prova in itinere i candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

Gli studenti che superano la prova in itinere accedono alla prova di fine corso, che si svolgerà alla fine delle lezioni e verterà sulla rimenente parte del programma.

La prova di fine corso è strutturata come l'esame finale.

Per l'attribuzione del voto delle singole prove (in itinere. e finale) si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

La prenotazione per gli appelli d’esame, prova in itinere e di fine corso è obbligatoria e deve essere fatta dallo studente esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi.

Esempi di domande frequenti

1. Relazione tra convergenza puntuale, uniforme e totale per le serie di funzioni
2. Insieme di convergenza di una serie di potenze
3. Sviluppi in serie
4. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità
5. Estremi relativi di una funzione di più variabili,: condizioni necessaria e sufficienti
6. Rettificabilità e lunghezza di una curva
7. Forme differenziali esatte e forme differenziali chiuse
8. Integrale generale delle equazioni lineari omogenee

Esempi di esercizi frequenti

1. Determinare gli estremi relativi e assoluti di una funzione di due o più variabili
2. Determinare l’integrale generale di una equazione differenziale
3. Calcolare un integrale doppio o triplo
4. Calcolare l’integrale curvilineo di una forma differenziale
5. Calcolare il flusso di un campo vettoriale
6. Calcolare un integrale di superficie
7. Studiare una serie di funzioni