ANALISI MATEMATICA I A - L

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.
In particolare gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni e le serie numeriche, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dalla Fisica.

Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui potrà confrontarsi criticamente con gli altri studenti per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative (communication skills):La frequenza alle lezioni e la lettura di libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento (learning skills): Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso la preparazione dei seminari e delle esercitazioni sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi alla lavagna. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Il corso è affiancato da attività didattiche integrative, svolte dallo stesso docente con la collaborazione di giovani tutor, in occasione delle quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o presentando brevi seminari di approfondimento.

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali.

Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni potenza, esponenziale, logaritmica e trigonometriche.

Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche.

La frequenza è obbligatoria ( vedi Regolamento Didattico del CdS in Fisica Triennale L-30)

1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.

Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2. INSIEMI NUMERICI

L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione. Numeri interi relativi. Numeri razionali. Esistenza di numeri irrazionali. L’insieme dei numeri reali: struttura algebrica, ordinamento. Valore assoluto. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione xⁿ =a . Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi.

Proprietà di completezza. Densità dell’insieme dei numeri razionali e irrazionali nell’insieme dei numeri reali. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico e relative proprietà.

La retta ampliata. Intervalli. Intorni di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera. Interno e frontiera di un insieme. Punti di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Teorema di Bolzano.

L’insieme dei numeri complessi. Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale.

4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni e sue applicazioni. Numero di Neper. Limite della funzione composta. Limiti dedotti dal numero di Neper. .Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Criterio di convergenza di Cauchy. Massimo e minimo limite. Medie dei termini di una successione. Insiemi sequenzialmente compatti e loro caratterizzazione.Infinitesimi ed infiniti. Asintoti al grafico di una funzione.

5. FUNZIONI CONTINUE.

Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi . Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. . Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Funzioni arcsenx, arccosx, arctgx.Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane.

6. CALCOLO DIFFERENZIALE.

Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità . Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma , prodotto , reciproca e quoziente . Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, e Lagrange e sue conseguenze . Concavità, convessità e flessi.
Ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo o assoluto di una funzione. Teoremi di de l’Hospital e forme indeterminate. Funzioni convesse in un intervallo. Proprietà. Formula di Taylor e applicazioni. Studio del grafico di una funzione. Funzioni iperboliche e loro inverse.

8. INTEGRALE INDEFINITO.

Primitive. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà di omogeneità e distributiva. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione.

7. INTEGRALE DEFINITO.

Integrale di Riemann. Condizione di integrabilità. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media . Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale . Cenni di teoria della misura secondo Peano-Jordan. Significato geometrico dell’integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati e impropri.Assoluta integrabilità, criteri di convergenza.

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni differenziali lineari del 1° ordine.Equazioni differenziali del 2° ordine, lineari e a coefficienti costanti: struttura dell’insieme delle soluzioni, metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Oscillatore armonico smorzato.

8.SERIE NUMERICHE.

Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche . Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice, di Raabe e di condensazione. Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Criteri per le serie a segni alterni. La serie logaritmica.
Serie prodotto secondo Cauchy. Proprietà commutativa e associativa.

9.SUCCESSIONI DI FUNZIONI. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Criterio di Cauchy. Teoremi della continuità, della derivabilità e del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

10. SERIE DI FUNZIONI

Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze. Criteri di Cauchy- Hadamard e D’Alambert. Teorema di Abel.Derivazione e integrazione delle serie di potenze.Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor . Sviluppi in serie delle funzioni e^x, senx, cosx, log(1+x), arctgx, (1+x)^a. Cenni sulle serie di Fourier.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

Per la teoria:

1. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Zanichelli

2. C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.

3. J.P.Cecconi, G.Stampacchia, Analisi Matematica, volume 1, Liguori

4. E.Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri

5. N.Fusco, P.Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori

Per gli esercizi

6. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

7. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

8.. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

9. E.Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, volume primo, Bollati Boringhieri

L'esame consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 4 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.
Il colloquio orale dovrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. Esso sarà finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive.

Nel periodo 27gennaio- 29 febbraio si svolgerà una prova in itinere, che verte sulla parte di programma svolta.

La prova in itinere consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Superano la prova in itinere i candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.
Gli studenti che superano la prova in itinere accedono alla prova di fine corso, che si svolgerà alla fine delle lezioni e verterà sulla rimenente parte del programma.

La prova di fine corso consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 4 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.

La prenotazione per gli appelli d’esame, prova in itinere e di fine corso è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Su Studium verranno pubblicati raccolte di esercizi e prove d'esame già assegnate.