ANALISI MATEMATICA I A - L

Saper risolvere semplici equazioni nel campo complesso, determinare gli estremi di un insieme numerico, calcolare i limiti di successioni e di funzioni, nonché studiare il carattere di una serie numerica. Saper tracciare il grafico delle funzioni reali di una variabile reale, individuandone le principali proprietà, calcolare integrali indefiniti, definiti, impropri e generalizzati. Saper risolvere semplici equazioni differenziali del primo ordine e del secondo ordine, lineari e a coefficienti costanti. Essere in grado di studiare la convergenza puntuale e quella uniforme di una successione di funzioni, nonché il problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale nei casi più semplici.

Lezioni ed esercitazioni in aula o per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Conoscenze di base di algebra e geometria.

Obbligatoria.

Elementi di teoria degli insiemi. Simboli e operazioni insiemistiche fondamentali. Definizione di funzione. Funzione composta. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa.

Insiemi numerici. L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Numeri interi relativi. Numeri razionali. Esistenza di numeri irrazionali. L’insieme dei numeri reali: struttura algebrica, ordinamento. Valore assoluto, potenze e radici di un numero reale. Logaritmi. Densità dell’insieme dei numeri razionali nell’insieme dei numeri reali. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico e relative proprietà. La retta ampliata. Intervalli. L’insieme dei numeri complessi. Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.

Elementi di topologia in R. Intorni di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera. Interno e frontiera di un insieme. Punti di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Funzioni reali di una variabile reale. Definizioni. Rappresentazione geometrica. Estremi di una funzione. Definizione di limite. Alcuni esempi. Teorema di unicità del limite. Teoremi del confronto. Teorema della permanenza del segno. Limite sinistro e limite destro. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Funzioni monotone e loro limiti. Infinitesimi e infiniti, confronti. Asintoti verticali, obliqui od orizzontali. Successioni e loro limiti. Caratterizzazione del limite di una funzione mediante i limiti di opportune successioni. Successioni monotone. Il numero e di Nepero. Alcuni limiti notevoli. Successioni estratte. Criterio di convergenza di Cauchy. Massimo e minimo limite. Medie dei termini di una successione. Insiemi sequenzialmente compatti e loro caratterizzazione.

Funzioni continue. Definizione di continuità in un punto e in un insieme. Punti di discontinuità. Discontinuità delle funzioni monotone. Operazioni. Proprietà fondamentali delle funzioni continue: teorema di esistenza degli zeri, teorema di esistenza dei valori intermedi, teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Le funzioni arcsin x, arccos x, arctan x. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane.

Calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale. Derivata e suoi significati cinematico e geometrico. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat. I teoremi di Rolle, di Cauchy e di Lagrange. Alcune conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni a derivata nulla, caratterizzazione della monotonia per funzioni derivabili in un intervallo, funzioni a derivata limitata. Ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo o assoluto di una funzione. Teoremi di de l’Hospital e forme indeterminate. Funzioni convesse in un intervallo. Proprietà. Formula di Taylor e applicazioni. Studio del grafico di una funzione. Continuità della funzione derivata. Funzioni iperboliche e loro inverse.

Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà. Criterio di convergenza Cauchy. Serie geometrica, di Mengoli, armonica. Serie a termini non negativi; criteri di convergenza e di divergenza: del confronto, del rapporto, della radice, di Raabe e di condensazione. Serie armonica generalizzata, criterio degli infinitesimi. Convergenza assoluta. Serie a termini di segno alternato, criterio di Leib-niz. Operazioni sulle serie: somma, prodotto per una costante, prodotto secondo Cauchy. Proprietà commutativa e associativa.

Integrali delle funzioni reali di una variabile reale. Integrabilità e integrale secondo Riemann per funzioni limitate in un intervallo chiuso e limitato. Una condizione caratteristica per l’integrabilità e significato geometrico. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili: funzioni continue, funzioni monotone, funzioni generalmente continue. Proprietà degli integrali: distributività, positività, additività, integrabilità del valore assoluto. I teoremi della media. Integrali definiti. Funzioni primitive di una data. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e integrali indefiniti. Metodi di integrazione elementare indefinita: per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Cenni sulla teoria della misura secondo Peano-Jordan. Calcolo di aree e di volumi. Integrali generalizzati e integrali impropri. Assoluta integrabilità, criteri di convergenza.

Cenni sulle equazioni differenziali del 1° e del 2° ordine. Oscillatore armonico smorzato. Equazioni differenziali del 1° ordine a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari e di Bernoulli. Equazioni differenziali del 2° ordine, lineari e a coefficienti costanti: struttura dell’insieme delle soluzioni, metodo della variazione delle costanti arbitrarie*.

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Criterio di Cauchy. Teoremi della continuità, della derivabilità e del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

G. DI FAZIO – P. ZAMBONI, Analisi Matematica Uno, Monduzzi Editore, Bologna, 2007.

G. EMMANUELE, Analisi Matematica 1, Pitagora Editrice, Bologna, 2010.

P. MARCELLINI – C. SBORDONE, Analisi Matematica uno, Liguori Editore, Napoli, 1998.

C.D. PAGANI – S. SALSA, Analisi matematica 1, Zanichelli Editore, Bologna, 2015.

M. BRAMANTI, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2011.

G. DI FAZIO – P. ZAMBONI, Analisi Matematica Uno, EdiSES, Napoli, 2013.

P. MARCELLINI – C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, Vol. I, Liguori Editore, Napoli, 1988.

Prova scritta e prova orale. La prova scritta dura tre ore e viene superata se il voto conseguito è almeno diciotto. Lo svolgimento della prova orale è subordinato al superamento della prova scritta.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Si rinvia a Studium.