MECCANICA ANALITICA

Il corso persegue quale obiettivo principale la trattazione teorica della meccanica classica consentendo allo studente di collegare gli argomenti del corso con i concetti appresi in Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Geometria, Fisica generale I e Fisica Generale II.

In particolare lo studente acquisirà le conoscenze di base per :
i) lo studio dei sistemi olonomi con particolare riguardo alla cinematica ed alla dinamica dei sistemi materiali rigidi.
ii) La meccanica Analitica.

Conoscenze dei contenuti di : Analisi I, Fisica I, Geometria.

La frequenza è fortemente consigliata

Algebra vettoriale e tensoriale:
Spazi vettoriali, dimensioni e basi di uno spazio vettoriale. Spazi Pseudo-euclidei ed euclidei. Tensore metrico. Componenti covarianti e controvarianti di un vettore. Coordinate cartesiane, polari, sferiche e cilindriche. Cambiamenti di Coordinate. Coordinate curvilinee. Calcolo del prodotto scalare, del prodotto vettoriale e del prodottomisto tra due vettori. Algebra Tensoriale. Componenti Covarianti, Controvarianti e miste di un tensore. Campi vettoriali in fisica.

Cinematica:
Cinematica delle particelle. Movimento, velocità e accelerazione di un punto materiale: moto piano, moto circolare, moto armonico e moto elicoidale. Ascissa curvilinea. Sistemi di riferimenti intrinseci. Formule Frenet. Cinematica dei corpi rigidi. Formule di Poisson e velocità angolare. Analisi del campo di velocità di un corpo rigido. Diversi tipi di moti rigidi. Moti rigidi Piani. Moto di un Corpo rigido con un punto fisso. Moto di un Corpo rigido con un asse fisso. Meccanica dei corpi rigidi ed alcune applicazioni. Cinematica relativa. Composizione delle velocità, delle accelerazioni e delle velocità angolari. Equivalenza galileiana. Sistemi di riferimento inerziali e trasformazioni Galilei. Sistemi di riferimento Inerziali e non inerziali. Teorema di Coriolis. Forze fittizie. Forze di Coriolis.
Angoli di Eulero.

Dinamica:
Assiomi della dinamica classica. Statica e dinamica di una particella. Statica e dinamica di un sistema. Equazioni cardinali in statica e in dinamica. Teoremi di conservazione. Dinamica di un corpo rigido. Centri di massa e momenti di inerzia. Tensore di Inerzia, assi principali, momenti principali di inerzia. Proprietà del tensore di inerzia. Teoremi di Huygens e Steiner. Teorema di Koenig per l'energia cinetica. Energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido. Energia potenziale. Vincoli. Vincoli olonomi e anolonomi per sistemi fisici. Coordinate generalizzate e gradi di libertà. Spazio delle configurazione. Vincoli bilaterali e unilaterali. Spostamenti reversibili e irreversibili. Vincoli ideali. Spostamenti possibili e virtuali. Principio dei lavori virtuali. Principio di d'Alembert. Lagrangiana ed equazioni di Lagrange. Campi di forza conservativi e potenziali. Conservazione dell'energia. Potenziali generalizzati ed applicazioni. Integrali del moto. Posizioni di equilibrio. Stabilità delle posizioni di equilibrio. Teorema di Lyapunov. Teorema di Dirichlet sulla Stabilità. Piccole oscillazioni intorno a punti di equilibrio stabile.

Meccanica Analitica:
Principi variazionali ed equazioni di Lagrange. Spazio delle configurazioni. Vettori tangenti e Spazio tangente. Principi variazionali e principio di Hamilton nello spazio delle configurazione. Principio di minima azione ed equazioni di Lagrange. Variabili cicliche. Problema del calcolo delle Geodetiche. Il problema della brachistocrona. Simmetrie e leggi di conservazione. Teorema di Noether. Problema dei due corpi. Spazio delle fasi. Formalismo Hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Equazioni di Hamilton. Derivazione delle equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Applicazione dei metodi Hamiltoniani a vari problemi. Trasformazioni canoniche. Funzione Generatrice di una trasformazione canonica. Applicazioni ed esempi. La teoria di Hamilton-Jacobi. Derivazione della equazioni di Hamilton-Jacobi a partire da un principio variazionale. Equazione di Hamilton-Jacobi e sue applicazioni. Metodo della separazione delle variabile per le equazioni di Hamilton-Jacobi. Parentesi di Poisson. Torema di Poisson. Applicazioni ed esempi.

Principi variazionali in teoria dei campi elettromagnetici:
Formulazione Lagrangiana ed equazioni di moto dedotte da principi variazionali. Variazione di un funzionale di campo. Tensore del campo Elettromagnetico. Gauge invarianza e connessione con i potenziali generalizzati. Invarianti del campo Elettromagnetico e costruzione della Lagrangiana utilizzando i teoremi di rappresentazione per funzioni scalari di Lorentz. Formulazione generale per le equazioni lineari e non lineari di Maxwell, interpretazione microscopica, verifiche sperimentali.

1. Appunti del docente.
2. S. Rionero, Lezioni di Meccanica razionale, Liguori Editore.
3. Strumia Alberto, Meccanica razionale. Vol. 1 e Vol. 2, Ed. Nautilus Bologna (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
4. Strumia Alberto, Complementi di Meccanica Analitica (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
5. A.Fasano, V.De Rienzo, A.Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari.
6. H. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli, Bologna.
7. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 1: Meccanica, Editori Riuniti.
8. Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità. ( http://www.science.unitn.it/~moretti/runfismatI.pdf )
9. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 2: Teoria dei campi, Editori Riuniti.

Prova scritta ed orale. In particolare il risultato della prova scritta concorrerà alla determinazione del voto finale .

http://www.dmi.unict.it/~trovato/Testi_compiti.pdf