ANALISI MATEMATICA II

Conoscere, comprendere e saper utilizzare gli strumenti fondamentali dell’Analisi matematica II, quali gli sviluppi in serie di funzioni, l’ottimizzazione libera e vincolata, le forme differenziali, gli integrali multipli e le equazioni differenziali. Evidenziare il loro ruolo nella modellizzazione matematica di classici problemi derivanti dalla Fisica. Saper interpretare e costruire semplici modelli matematici.

Conoscenza degli argomenti fondamentali dei corsi di Analisi Matematica I e Geometria.

Fortemente consigliata.

Successioni e serie di funzioni. Successioni e serie di funzioni reali: convergenza puntuale, convergenza uniforme. Teoremi della continuità, della derivabilità e del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenza totale. Serie di potenze. Raggio di convergenza, teorema di Cauchy-Hadamard, teorema di Abel. Serie di Taylor. Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli e applicazioni. Cenni sulle serie di Fourier.

Spazi metrici. Spazi metrici e spazi normati. Intorni. Punti interni, di frontiera e di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, chiusi e limitati. Convergenza. Completezza. Funzioni lipschitziane e teorema delle contrazioni. Sequenziale compattezza. Chiusura e sua caratterizzazione mediante le successioni. Spazio euclideo R^p. Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e di Minkowski. Teoremi di Heine-Borel e di Bolzano-Weierstrass. Insiemi connessi per spezzate.

Funzioni reali definite in uno spazio metrico. Definizione di limite. Alcuni esempi. Teoremi di unicità del limite, del confronto, della permanenza del segno. Caratterizzazione del limite di una funzione mediante i limiti di opportune successioni. Definizione di continuità in un punto e in un insieme. Proprietà fondamentali delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri. Funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor.

Calcolo differenziale per le funzioni reali di più variabili. Derivate direzionali e parziali, gradiente. Derivate successive, teorema di Schwarz. Funzioni differenziabili. Differenziabilità e continuità. Una condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivazione delle funzioni composte. Funzioni positivamente omogenee e teorema di Eulero. Funzioni definite mediante integrali. Teorema di Lagrange. Formula di Taylor. Funzioni con derivate nulle. Massimi e minimi relativi. Matrice hessiana. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo. Ricerca del massimo e del minimo assoluto.

Curve e superficie. Curve in R^p: curve semplici, chiuse, regolari, generalmente regolari. Teorema di Jordan. Curve equivalenti. Rettificabilità. Ascissa curvilinea. Superficie regolari in R^3. Piano tangente.

Funzioni implicite e applicazioni. Funzioni implicite. Teorema di U. Dini. Determinanti jacobiani. Sistemi di funzioni implicite. Curve piane e sghembe. Superficie. Massimi e minimi vincolati. Metodi di esplicitazione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrali curvilinei. Integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali e loro integrali curvilinei. Forme differenziali integrabili. Primo criterio di integrabilità delle forme differenziali. Secondo criterio di integrabilità delle forme differenziali. Teorema di Poincaré.

Equazioni differenziali. Definizioni e terminologia. Teorema di Peano. Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy relativo a una equazione differenziale in forma normale. Teorema di esistenza e unicità globale. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari e di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari: struttura dell’insieme delle soluzioni, metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari e a coefficienti costanti. Equazioni di Eulero. Cenni sui sistemi di equazioni differenziali lineari.

Misura e integrazione. Misura secondo Lebesgue dei rettangoli e dei plurirettangoli di Rp. Misura degli insiemi aperti limitati non vuoti e degli insiemi sequenzialmente compatti. Nozione di misurabilità per gli insiemi limitati e per gli insiemi non necessariamente limitati. Proprietà: isotonia, finita additività, sottrattività, σ-additività, continuità verso l’alto e verso il basso, invarianza per traslazioni, completezza. Funzioni misurabili e relative proprietà. Successioni di funzioni misurabili. Funzioni semplici. Cenni sulla teoria dell’integrazione secondo Lebesgue in R^p. Definizione di integrale per le funzioni misurabili e non negative in insiemi misurabili. Prime proprietà: monotonia, isotonia, omogeneità. Teorema di B. Levi. Ulteriori proprietà dell’integrale: additività rispetto alla funzione integranda, σ-additività rispetto all’insieme di integrazione, continuità verso l’alto e verso il basso, insiemi di misura zero. Funzioni sommabili. Proprietà. Teorema di Lebesgue. Teoremi sui cambiamenti di variabili negli integrali multipli. Coordinate polari nel piano e nello spazio, coordinate cilindriche. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e formula di Stokes nel piano. Calcolo dell’area di un dominio regolare.

Integrali di superficie. Area di una superficie. Integrali superficiali delle funzioni. Integrali di superficie delle forme differenziali quadratiche. Formula di Stokes. Teorema della divergenza.

M. Bramanti – C.D. Pagani – S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli Editore, Bologna, 2009.

G. Di Fazio – P. Zamboni, Analisi Matematica Due, Monduzzi Editore, Bologna, 2008.

N. Fusco – P. Marcellini – C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli, 1996.

P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. II, Liguori Editore, Napoli, 1988.

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Singapore, 1976.

Prova scritta e prova orale.

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