MECCANICA ANALITICA 1

Modulo ESERCITAZIONI

Il corso ha come obiettivo principale la trattazione teorica della meccanica classica utilizzando, in modo appropriato, il calcolo differenziale, il calcolo integrale ed il calcolo variazionale con elementi di base di geometria differenziale. Il programma del corso è suddiviso in sezioni:

 “Algebra vettoriale e tensoriale”. “Cinematica”. “Dinamica ed equazioni di Lagrange per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni di natura qualsiasi”. “Principi variazionali per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni derivanti da potenziali conservativi e/o potenziali generalizzati”.

Tutte le sezioni sono tra loro strettamente interconnesse e necessarie ai fini della comprensione dell’intero corso di Meccanica Analitica. Il corso contiene delle lezioni specificamente teoriche, ma presenta anche una parte di esercitazioni ed applicazioni.

Nota: Le lezioni del corso di Meccanica Analitica (9 CFU) sono formalmente contenute sia nel Modulo “Didattica Frontale” (7 cfu), che nel modulo “Esercitazioni” (2 CFU). Questa separazione è di fatto soltanto formale in quanto, durante le lezioni svolte in aula, il docente dapprima affronterà tutti gli argomenti teorici del modulo “Didattica Frontale”, integrando questi argomenti con i contenuti previsti per il modulo di “Esercitazioni”. Ovviamente per gli argomenti contenuti nei due moduli sono dedicate il numero di ore previste per il corrispondente numero di CFU.

Con le lezioni del presente modulo "Esercitazioni" lo studente acquisirà ed applicherà le “conoscenze teoriche” di base per :

i) lo studio dei sistemi meccanici con particolare riguardo alla cinematica ed alla dinamica dei sistemi materiali rigidi soggetti a forze di natura qualsiasi.
ii) lo studio dei metodi variazionali atti a descrivere la fisica di sistemi materiali soggetti a forze derivanti da potenziali conservativi e/o potenziali generalizzati.

iii) Lo studio delle leggi di conservazione in fisica e la loro connessione con le proprietà di simmetria del sistema fisico considerato.

iv) la descrizione delle leggi della fisica, quando possibile, in termini geometrici.

v) la possibilità di “determinare” e “risolvere” (anche con metodi di “approssimazione successiva”) le equazioni del moto, determinando le soluzioni evolutive per il sistema fisico considerato.

L’obbiettivo del corso e quello di indurre lo studente a “applicare" i concetti della meccanica Analitica, esercitandosi a relazionare e collegare tra loro i vari argomenti trattati,  acquisendo nuove conoscenze e competenze.

A questo fine, in accordo con quanto previsto nel regolamento didattico del CdS in Fisica, ci si attende che alla fine del corso lo studente abbia acquisito:

-          capacità di ragionamento induttivo e deduttivo;

-          capacità di schematizzare un fenomeno naturale in termini di grandezze fisiche, di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici e/o numerici;

-          capacità di comprendere semplici configurazioni sperimentali al fine di poter effettuare misure ed analizzare i dati.

Il corso consentirà di acquisire competenze utili per vari sbocchi tecnico-professionali , ed in particolare:

-          Per le applicazioni tecnologiche nei settori dell’industria e della formazione.

-          Per l’acquisizione ed il trattamento dei dati.

-          Per curare attività di modellizzazione, analisi e relative implicazioni informatico-fisiche.

Nello specifico, dovendo esprimere i “risultati di apprendimento attesi”, tramite i cosiddetti "Descrittori di Dublino", il Modulo di "Esercitazioni" del corso di Meccanica Analitica avrà quindi lo scopo di raggiungere le seguenti competenze trasversali:

1)      Conoscenza e capacità di comprensione:

Il Modulo di "Esercitazioni" si prefigge lo scopo di utilizzare ed applicare strumenti matematici (quali teoremi, procedure dimostrative ed algoritmi) per descrivere problemi reali in meccanica classica. Lo studente con tali strumenti dovrà avere “nuove capacità per comprendere, descrivere e risolvere” gli schemi matematici nascosti dietro i processi fisici studiati durante il corso. Queste conoscenze saranno molto utili anche per la risoluzione di nuovi possibili problemi teorici, che potranno essere affrontati sia negli studi successivi che nel mondo reale.

2)      Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Alla fine del Modulo di "Esercitazioni" si dovrà acquisire la “capacità di applicare la conoscenza e la comprensione” delle nuove tecniche matematiche studiate, sia per determinare concretamente le “soluzioni delle equazioni del moto” associate ai problemi fisici studiati durante il corso, che per la risoluzione concreta di possibili nuove problematiche non trattate durante il corso.

3)      Autonomia di giudizio:

Il Modulo di "Esercitazioni" del corso darà allo studente capacità autonome di giudizio per discernere metodi non corretti per risolvere gli esercizi, inoltre lo studente, mediante un ragionamento logico, dovrà affrontare e risolvere adeguate problematiche di meccanica, e più in generale di matematica applicata. 

4)      Abilità comunicative:

Nella prova finale di esame lo studente dovrà dimostrare di aver raggiunto una adeguata maturità espositiva sia per descrivere le varie tecniche matematiche apprese, che per risolvere le problematiche fisiche descritte durante il corso.

5)      Capacità di apprendimento:

Gli studenti potranno acquisire le competenze necessarie per intraprendere studi successivi (laurea magistrale) con un alto grado di autonomia. Il corso, oltre a proporre argomenti teorici per la risoluzione degli esercizi, presenta argomenti che potranno essere utili in vari campi lavorativi e sbocchi professionali.

La parte etichettata come Modulo di "Esercitazioni" dell'insegnamento di Meccanica Analitica verrà espletata tramite lezioni svolte dal docente in aula. Per le "lezioni" delle esercitazioni il programma svolto si integrerà completamente con gli argomenti delle lezioni teoriche del Modulo “Didattica Frontale” del corso di Meccanica Analitica. In ognuna delle lezioni svolte in aula, il docente dapprima affronterà tutti gli argomenti teorici del modulo “Didattica Frontale”, integrando queste lezioni con opportuni esercizi. In questo modo il docente mostrerà concretamente come gli esercizi siano connessi con la teoria descrivendo sia possibili applicazioni che problemi fisici specifici.

La parte del corso di Meccanica Analitica costituita dal Modulo di "Esercitazioni" è costituita complessivamente da 2 CFU (corrispondenti a 15 ore ciascuno) per un totale di 30 ore.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

Bisogna conoscere:

(Indispensabile) La trigonometria e le relazioni trigonometriche elementari,  risoluzione di equazioni algebriche e trigonometriche elementari, risoluzione di disequazioni algebriche e trigonometriche, vettori, matrici, risoluzioni di sistemi lineari, risoluzioni di sistemi di disequazioni, rappresentazione grafica nel piano di funzioni ad una variabile e delle loro inverse, geometria elementare nel piano, nello spazio e loro applicazioni ad oggetti geometrici elementari (rette, triangoli, circonferenze, ellissi, sfere, cilindri, coni, etc....).

(indispensabile) calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile.

(indispensabile) concetti fisici di base di meccanica classica, in particolare relativi alla cinematica e dinamica per sistemi di punti materiali e per sistemi continui 1D. 

(Importate) simbologia associata alle grandezze fisiche, dimensioni e sistemi di unità di misura.

(utile) nomenclatura e proprietà di linguaggio per la descrizione fisica elementare della meccanica classica

Come previsto dal regolamento didattico del CdS in Fisica,  per poter sostenere l'esame di Meccanica Analitica è necessario aver superato gli esami di : Analisi Matematica I, Fisica I.

La frequenza al corso è di norma obbligatoria (consultare il Regolamento Didattico del Corso di Studi).

Durante le lezioni potranno essere raccolte le firme di presenza.

Algebra vettoriale e tensoriale (Esercizi circa 4 ore):

Esercizi sui cambiamenti di base per i vettori ed i tensori doppi. Esercizio sul prodotto esterno di spazi vettoriali. Matrice della metrica indotta da un cambiamento di coordinate da cartesiane in: polari, cilindriche e sferiche. Esercizi su: prodotti vettoriali, prodotto misto, doppio prodotto vettoriale, Tensore di Levi-Civita.

Cinematica (Esercizi circa 3 ore):

Calcolo della torsione e curvatura di un'elica cilindrica. Cinematica da un riferimento cartesiano ai riferimenti naturali. Calcolo esplicito della Posizione, velocità ed accelerazione nel caso del: moto rigido rotatorio e moto rigido elicoidale. Calcolo della accelerazione di trascinamento nel caso del moto rotatorio. Calcolo della velocità angolare di un corpo rigido in termini degli angoli di Eulero.

Dinamica ed equazioni di Lagrange per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni di natura qualsiasi (Esercizi circa 12 ore):

Esercizi su: baricentri, momenti di inerzia, tensori di inerzia. Calcolo della Energia cinetica per un pendolo fisico in R3 utilizzando il tensore di inerzia. Calcolo esplicito di potenziali associati a forze conservative. Esercizi sul calcolo di potenziali generalizzati. Risoluzione esplicita di compiti d'esame. 

Principi variazionali per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni derivanti da potenziali conservativi e/o potenziali generalizzati (Esercizi circa 11 ore):

Calcolo delle variazioni per determinare le geodetiche: nel piano, su una superfice cilindrica, su una superfice sferica. Esercizi sul calcolo della Hamiltoniana utilizzando la trasformata di Legendre. Esercizi sulle leggi di conservazione utilizzando le parentesi di Poisson. Esercizi sulle trasformazioni canoniche utilizzando le funzioni generatrici. Esercizi sulle trasformazioni canoniche indotte da una trasformazione di Gauge. Esercizi sulla risoluzione della equazione di Hamilton-Jacobi: oscillatore armonico 1D, particella soggetta ad un potenziale di tipo centrale, particella in R2 soggetta ad un campo di dipolo.

1.Appunti del docente.

 https://www.dmi.unict.it/trovato/PDF%20Meccanica%20Analitica%20AA%202022-2023.html

 https://www.dmi.unict.it/trovato/Testi_compiti.pdf

2. S. Rionero, Lezioni di Meccanica razionale, Liguori Editore.

3. S. Rionero, G. Galdi, M. Maiellaro, Esercizi e complementi di meccanica razionale (Vol. 2) Liguori Editore.

4.G. Borgioli, Dispensa di Meccanica Razionale https://www.modmat.unifi.it/upload/sub/Borgioli/Meccanica%20Razionale/dispense_mecraz.pdf

5. S. Siboni, Dispense per i corsi di Meccanica Razionale 1 e 2.

https://www.edutecnica.it/pdf/mec/disp_1_61.pdf

6. H. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli, Bologna.

7. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 1: Meccanica, Editori Riuniti

Non verrà espletata alcuna prova in itinere.

La verifica della preparazione viene effettuata mediante esami o prove orali e  scritti, che si svolgono durante i periodi previsti nei calendari accademici del Dipartimento, in date (appelli d'esame) pubblicate nel Calendario annuale delle sessioni d'esame (https://www.dfa.unict.it/corsi/L-30/esami). In particolare il risultato della prova scritta concorrerà alla determinazione del voto finale dopo l'espletamento della prova orale.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Per le PROVE SCRITTE:

1) La durata di ciascuna prova scritta è di 3 ore;
2) Essa è costituita da un problema di meccanica classica composto da 3/4 esercizi;
3) I contenuti dei capitoli etichettati come "Cinematica" e "Dinamica ed equazioni di Lagrange per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni di natura qualsiasi" riportati nei "Contenuti del corso" possono essere argomenti della prova scritta;

4) Durante l'esame scritto  gli studenti potranno utilizzare solo formulari trigonometrici e calcolatrici, ma non telefoni-cellulari.

5) La prova scritta ha una durata di validità di due appelli (quello relativo alla prova svolta ed il successivo appello), del relativo Anno Accademico. Quindi le date degli appelli d'esame si riferiscono alle prove scritte

Risultati delle PROVE SCRITTE:

La prova scritta è propedeutica per l'esame orale. Per accedere alla prova orale  lo studente dovrà risolvere almeno due degli esercizi assegnati. Non verranno dati punteggi specifici, ma verranno dati i tre gradi di giudizio

• Approvata
• Approvata con riserva
• Approvata con molta riserva

Criteri di valutazione per le PROVE SCRITTE:

• Verrà valutata la capacità operativa dello studente di utilizzare gli strumenti matematici atti alla risoluzione degli esercizi
• Verrà valutata la capacità dello studente di applicare le conoscenze teoriche di meccanica classica per la risoluzione degli esercizi.

Per le PROVE ORALI:
Il docente può chiedere chiarimenti o fare osservazioni sulle prove scritte;
Nei criteri adottati per la valutazione della prova orale si valuterà:

•  la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate,
• il livello di approfondimento dei contenuti esposti,
  
• la capacità di collegamento con altri temi oggetto del programma e con argomenti già acquisiti in corsi di anni precedenti, la capacità di riportare esempi.
  
• la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.

Le domande formulate all'esame orale, su esercizi svolti durante il corso, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi:

Trasformazione di coordinate da cartesiane in: cilindriche e sferiche, matrice di trasformazione e connessione con la matrice della metrica.

Calcolo della torsione e curvatura di una elica cilindrica.

Cinematica da un riferimento cartesiano ai riferimenti naturali

Calcolo della Posizione, velocità ed accelerazione nel caso del: moto rigido rotatorio e moto rigido elicoidale.

Calcolo della velocità angolare di un corpo rigido in termini degli angoli di Eulero.

Esercizi su: baricentri, momenti di inerzia, tensori di inerzia

Calcolo della Energia cinetica per un pendolo fisico in R3 utilizzando il tensore di inerzia.

Potenziale generalizzato delle forze apparenti ed applicazioni.

Potenziale generalizzato del campo elettromagnetico ed applicazioni al moto di una particella carica.

Determinazione della geodetica nel piano, su una superfice cilindrica, su una superfice sferica.

Data la lagrangiana calcolare la Hamiltoniana utilizzando la trasformata di Legendre per i seguenti problemi: Particella carica in un campo elettromagnetico. Sistema di N corpi rigidi soggetti a potenziali conservativi e generalizzati. Particella vincolata ad una sfera soggetta ad un potenziale a simmetria sferica.

Esercizi ed esempi sulle trasformazioni canoniche utilizzando le funzioni generatrici: Trasformazione puntuale. Trasformazione identica. Trasformazione di scambio. trasformazione di Gauge. Oscillatore armonico 1D.

Risoluzione della equazione di Hamilton-Jacobi: oscillatore armonico 1D. Particella in un campo centrale in R2 ed in R3. Particella in R2 soggetta ad un campo di dipolo.

Gli esercizi svolti durante l'esame scritto, riportati nel link sottostante, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi

https://www.dmi.unict.it/trovato/Testi_compiti.pdf