NUMERICAL METHODS FOR PHYSICS

Il corso si occupa della risoluzione numerica di alcuni problemi di interesse per i fisici. Ciò comporta tre livelli di approfondimento: discussione del problema fisico, discussione del modello matematico che lo descrive, discussione di uno o più algoritmi che risolvono tale modello, e dell'eventuale implementazione al calcolatore. A ciascun livello, vengono introdotte e discusse criticamente le varie possibili sorgenti di “errore”.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding).

Capacità di ragionamento induttivo e deduttivo. Capacità di schematizzare un fenomeno naturale in termini di grandezze fisiche scalari e vettoriali. Capacità di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici o numerici. Durante il corso si discuteranno classi di fenomeni fisici che è possibile descrivere mediante lo stesso tipo di relazioni matematiche, suggerendo metodi numerici per la loro soluzione.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)

Capacità di elaborare modelli teorici. Capacità di eseguire simulazioni numeriche.

Autonomia di giudizio (making judgements)

Capacità di ragionamento critico. Capacità di individuare le previsioni di una teoria o di un modello.

Abilità comunicative (communication skills).

Buone competenze informatiche. Buone competenze degli strumenti per la gestione dell'informazione scientifica e per l'elaborazione dei dati e le ricerche bibliografiche. Conoscenza in forma scritta e orale della lingua inglese nell'ambito scientifico. Capacità di esporre oralmente, con proprietà di linguaggio e rigore terminologico, un argomento scientifico, illustrandone motivazioni e risultati.

Capacità di apprendimento (learning skills).

Capacità di saper aggiornare le proprie conoscenze attraverso la lettura di pubblicazioni scientifiche, in lingua italiana o inglese, nei vari campi delle discipline fisiche, anche non specificamente studiati durante il proprio percorso formativo.

Lezioni frontali in aula.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Algebra lineare e geometria, Analisi matematica I, Fisica generale I. Alcuni degli argomenti trattati fanno riferimento a nozioni di Analisi matematica II, di Fisica generale II, di Meccanica analitica e di Istituzioni di meccanica quantistica (corsi annuali che si svolgono in parallelo).

Approssimazione e interpolazione di funzioni. Interpolazione polinomiale. Interpolazione di Lagrange e di Newton.

Errore numerico: Errore puntuale e globale. Prodotto scalare e norme in spazi funzionali.

Basi ortonormali in spazi lineari. Polinomi ortogonali classici. Polinomi di Legendre, di Hermite, di Laguerre, di Chebyshev. Funzione generatrice. Formula di Rodriguez. Sviluppo in multipoli. Campi centrali generati da una distribuzione di massa o carica. Sviluppo di funzioni in polinomi di Legendre.

Derivazione e integrazione numerica. Formule di Newton-Cotes. Formula dei trapezi. Formula di Simpson. Metodi adattivi di integrazione (cenni). Metodo Monte Carlo (cenni).

Ricerca degli zeri di una funzione. Metodo di bisezione. Ordine di convergenza. Metodo delle secanti. Metodo di Newton-Raphson. L'algoritmo babilonese e altre applicazioni.

Equazioni differenziali ordinarie. Esempi fisici. Teorema di Picard-Lindelöf. Condizione di Lipschitz. Metodo di Picard. Dipendenza continua dai dati iniziali. Metodo di Eulero. Errore di troncamento locale e globale. Metodo di Heun, di Eulero implicito, di Runge-Kutta. Metodi simplettici di integrazione.

Soluzione numerica dell'equazione di Schrödinger: metodo di Numerov. Applicazione al caso dell'oscillatore armonico, della buca di potenziale, e di altri potenziali confinanti.

Sistemi di equazioni lineari: metodi diretti e iterativi. Metodo di Cramer. Algoritmo di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice. Complessità computazionale: polinomiale e non polinomiale. Formula di Stirling. Rappresentazione del fattoriale mediante la funzione Gamma di Eulero. Approssimazione del punto sella per la stima di integrali. Metodo di Gauss-Jordan e sua complessità computazionale. Power sums. Metodo di fattorizzazione LU. Metodi iterativi. Criterio di convergenza. Norme di matrici. Metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Matrici sparse e dense. Successive over-relaxation.

Autovalori ed autovettori: richiami. Rappresentazione spettrale. Rilevanza delle simmetrie in fisica. Grafi: matrice di adiacenza. Google e il teorema di Perron-Frobenius (cenno). Applicazioni ad Internet e ai motori di ricerca. Metodo delle potenze. Modi normali di una catena unidimensionale di oscillatori: caso periodico. Soluzione analitica per una catena omogenea. Bande. Limite del continuo. Limite di grande lunghezza d'onda. Velocità del suono. Modi acustici. Modi normali di una catena unidimensionale di oscillatori: caso quasi-periodico. Quasicristalli. Soluzione numerica per la catena di Fibonacci.

Equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE). PDE di interesse per la fisica. Classificazione (cenni). Formulazione locale e globale di una legge fisica. Esempi di interesse fisico:  equazioni di Maxwell. Problema generale dell'elettrostatica. Equazione di Poisson: problemi di Dirichlet e di von Neumann. Equazione di Poisson: derivazione variazionale. Discretizzazione dell'equazione di Poisson e dell'energia elettrostatica. Metodo di Richardson. Criterio di convergenza. Metodo di Liebmann.

Trasformate di Fourier discrete. Soluzione numerica dell'equazione di Poisson mediante le Fast Fourier Transforms.

S. E. Koonin, D. C. Meredith, Computational physics (Addison-Wesley, Redwood, 1990).

G. Naldi, L. Pareschi, G. Russo, Introduzione al calcolo scientifico (McGraw-Hill, Milano, 2001).

J. F. Epperson, Introduzione all'analisi numerica (McGraw-Hill, Milano, 2003).

J. F. Epperson, An introduction to numerical methods and analysis (Wiley, Hoboken, 2013) - 2nd ed.

Prova orale su argomenti del corso, dei quali il primo è di solito a scelta del/la candidato/a.

I criteri adottati per la valutazione sono: la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate, il livello di approfondimento dei contenuti esposti, la capacità di collegamento con altri temi oggetto del programma e con argomenti già acquisiti in corsi di anni precedenti, la capacità di riportare esempi, la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi:

• Polinomio interpolante: forme di Lagrange e di Newton
• Polinomi ortogonali classici
• Polinomi di Legendre: proprietà etc
• Sviluppo in multipoli
• Derivazione numerica
• Formule di Newton-Cotes
• Ordine di convergenza (metodi di ricerca degli zeri)
• Contrazioni
• ODE: metodi espliciti ed impliciti
• Integratori simplettici
• Complessità computazionale
• Metodi diretti (Gauss-Jordan, LU) e indiretti (Jacobi, Gauss-Seidel) per sistemi lineari
• Metodo delle potenze (autovalore dominante)
• Quasicristalli
• Metodi indiretti e diretti (DFT) per la soluzione dell'equazione di Poisson