DYNAMIC SYSTEMS, CHAOS AND COMPLEXITY

Fornire agli studenti una introduzione graduale alla scienza dei sistemi complessi attraverso un percorso che, partendo dai sistemi dinamici - sia dissipativi che conservativi, sia continui che discreti - a pochi gradi di libertà, già in grado di manifestare comportamenti caotici, passi poi allo studio di sistemi a molti gradi di libertà, da affrontare per mezzo di un approccio statistico, con particolare attenzione ai fenomeni di non equilibrio, ai sistemi con interazioni a lungo raggio e a quelli al margine del caos. A questo proposito, accanto alla meccanica statistica classica standard (di Boltzmann-Gibbs) verrà introdotta anche una delle sue più importanti generalizzazioni, la cosiddetta meccanica statistica "non estensiva" di Constantino Tsallis, particolarmente adatta alle descrizione dei sistemi complessi in ambito fisico, biologico o socio-economico. In aggiunta alle nozioni teoriche, il corso fornirà allo studente anche nozioni di programmazione in ambiente NetLogo, software gratuito multipiattaforma orientato alle simulazioni ad agenti e all'esplorazione dei sistemi dinamici a pochi e molti gradi di libertà.

In riferimento ai Descrittori di Dublino, questo corso contribuisce ad acquisire le seguenti competenze trasversali:

Conoscenza e capacità di comprensione

• Capacità di ragionamento induttivo e deduttivo.
• Capacità di schematizzare un fenomeno naturale in termini di grandezze fisiche scalari e vettoriali.
• Capacità di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici o numerici.
• Capacità di effettuare l'analisi statistica dei dati.

Capacità di applicare conoscenza:

• Capacità di applicare le conoscenze acquisite per la descrizione dei fenomeni fisici utilizzando con rigore il metodo scientifico.
• Capacità di progettare semplici esperimenti ed effettuare l'analisi dei dati sperimentali ottenuti in tutte le aree di interesse della fisica, incluse quelle con implicazioni tecnologiche.

Autonomia di giudizio:

• Capacità di ragionamento critico.
• Capacità di individuare i metodi più appropriati per analizzare criticamente, interpretare ed elaborare i dati sperimentali.
• Capacità di individuare le previsioni di una teoria o di un modello.

Abilità comunicative:

• Buone competenze degli strumenti per la gestione dell'informazione scientifica e per l'elaborazione dei dati e le ricerche bibliografiche.
• Capacità di esporre oralmente, con proprietà di linguaggio e rigore terminologico, un argomento scientifico, illustrandone motivazioni e risultati.

Capacità di apprendimento

• Capacità di saper aggiornare le proprie conoscenze attraverso la lettura di pubblicazioni scientifiche, in lingua italiana o inglese, nei vari campi delle discipline fisiche, anche non specificamente studiati durante il proprio percorso formativo.

Lezioni frontali - Materiale audiovisivo - Utilizzo del software NetLogo per lo sviluppo di simulazioni ad agenti

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenza del contenuto dei corsi di fisica e analisi matematica del biennio.

Di norma obbligatoria.

Parte I – Introduzione alla nuova Scienza della Complessità

Dalla teoria del caos alla nuova scienza della complessità - Teoria delle catastrofi - Invarianza di scala, frattali e leggi di potenza

Criticità auto-organizzata (SOC) - Reti complesse: Small World e Scale Free - Automi cellulari di Wolfram e di Conway

Sincronizzazione e modello di Kuramoto - Fenomeni emergenti al margine del caos - Sinergetica - Sociofisica ed Econofisica

Computational Social Science - Introduzione alle simulazioni ad agenti: l’ambiente di sviluppo NetLogo. Interfaccia Utente e Linguaggio di Programmazione

Parte II – Sistemi dinamici a pochi gradi di libertà. Caos e Frattali

Sistemi dinamici continui (flussi) dissipativi - Spazio degli stati - Teorema di non-intersezione

Flussi in una dimensione - Attrattori a punto fisso - Punti fissi stabili (nodi) e instabili (repulsori) - Punti di sella (saddle points) - L’Equazione Logistica

Flussi in due dimensioni - Attrattori a punto fisso e a ciclo limite - Teorema di Poincarè-Bendixson - Equazioni di Lotka-Volterra e Brussellator - Sezione di Poincarè - Teoria delle biforcazioni - Biforcazione tangente o “saddle-node” - Biforcazione di Hopf

Flussi in tre dimensioni - Punti fissi e cicli limite in tre dimensioni - Piano di Poincarè - Matrice di Floquet - Stabilità dei cicli limite - Attrattori quasi-periodici - Rotte verso il caos - Caos omoclinico ed eteroclinico - Il modello di Lorenz - Esponenti di Lyapunov

Sistemi dinamici discreti (mappe) dissipativi - Mappe unidimencionali - La Mappa Logistica - Attrattori e diagramma di biforcazione - Le costanti di Feigenbaum - Caos ed esponenti di Lyapunov - Stretching and folding - Il margine del caos (“edge of chaos”)

Mappe dissipative bidimensionali - La mappa di Hénon - Autosimilarità e frattali - La curva di Koch - Dimensione frattale di box-counting e di correlazione - Dimensione di Haussdorf

Flussi Hamiltoniani (conservativi) - Equazioni di Hamilton - Spazio delle fasi - Teorema di Liouville - Costanti del moto e variabili azione-angolo - Sistemi integrabili e non integrabili - Sistemi Hamiltoniani in una dimensione - Oscillatore armonico come sistema dinamico - Il pendolo rigido conservativo e il pendolo forzato-smorzato

Flussi Hamiltoniani in più dimensioni - Il teorema KAM - Orbite periodiche, quasiperiodiche e caotiche - Il modello di Hénon-Heiles

Parte III – Sistemi dinamici a molti gradi di libertà. Termodinamica e Meccanica Statistica

Richiami di Termodinamica - L’equazione di stato dei gas perfetti - La prima legge della termodinamica - Applicazioni della prima legge - La seconda legge della termodinamica - Il teorema di Carnot - L’entropia - Potenziali termodinamici - La terza legge della termodinamica

La teorica cinetica secondo Boltzmann: lo spazio μ e la funzione di distribuzione - Collisioni binarie - Diffusione classica e quantistica - L’equazione del trasporto di Boltzmann - Il Teorema H - La distribuzione di Maxwell-Boltzmann - Teorema H ed Entropia - Vita e opera di Ludwig Boltzmann (film)

Meccanica statistica classica - Il teorema di Liouville - Teoria degli “Ensemble” di Gibbs - Il teorema ergodico - Postulato dell’equiprobabilità a priori - Media temporale e media di ensemble - L’ensemble microcanonico - Additività ed estensività dell’entropia - Termodinamica ed equazione di stato di un gas ideale classico in ensemble microcanonico

L’ensemble Canonico - La funzione di partizione canonica - Termodinamica di un gas ideale in ensemble canonico - Fluttuazioni di energia nell’ensemble canonico - Equivalenza tra gli ensembles canonico e microcanonico

Introduzione alla Meccanica Statistica Generalizzata - Complessità e interazioni a lungo raggio - Il modello HMF (Hamiltonian Mean Field model) - Assiomi di Kinchin e di Abe: entropie generalizzate - Termodinamica all’equilibrio del modello HMF - Anomalie dinamiche e stati quasistazionari - Dipendenza dal range di interazione - Meccanica statistica generalizzata all’Edge of Chaos

Considerazioni cosmologiche intorno alla seconda legge della termodinamica, alla freccia del tempo e all’emergere della complessità nell’universo - Fine tuning e regolazione fine delle costanti fondamentali - Principio antropico debole e forte - Teorie del Tutto e modelli di Multiverso

1) Robert C. Hilborn, “Chaos and nonlinear dynamics”, Oxford University Press, 2nd Ed. 2000

2) Steven Strogatz, “Nonlinear dynamics and chaos”, Westview Press 2001

3) K. Huang, “Meccanica Statistica”, Zanichelli 1997

4) A.Pluchino, "La firma della complessità. Una passeggiata al margine del caos", Malcor D' Edizione 2015

5) C.Tsallis, "Introduction to nonextensive statistical mechanics: approaching a complex world", Springer 2008

6) C. Gros, “Complex and adaptive dynamical systems”, Springer 2nd Ed. 2010

7) J.P. Sethna, “Entropy, Order parameters and Complexity”, Oxford University Press 2006

La prova d'esame è solo orale ma è prevista l'elaborazione di una breve tesina di approfondimento di uno degli argomenti trattati nel corso, da consegnare qualche giorno prima dell'esame o direttamente il giorno dell'appello.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

- SIstemi dinamici dissipativi in due dimensioni;

- Dimensione frattale ed esponenti di Lyapunov;

- Attrattore di Lorenz;

- Entropia e secondo principio della termodinamica;

- Spazio Mu e funzione di distribuzione di Boltzmann;

- Teoria degli ensemble di Gibbs;

- Sistemi con interazioni a lungo-raggio;