ADVANCED MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICS

Il corso si propone di trattare formalismi e strumenti matematici di interesse nell'ambito della fisica moderna, relativi principalmente alla meccanica quantistica.

Lo studente acquisirà conoscenze relative all'algebra e alla teoria degli operatori lineari in spazi finito e infinito dimensionali, con particolare attenzione alle proprietà spettrali degli operatori, apprezzandone la connessione con i fondamenti della meccanica quantistica. Verranno poi affrontate la teoria della misura, per quanto pertinente al precedente argomento, e tecniche di risoluzione di equazioni della fisica matematica.
Le conoscenze acquisite permetterando di comprendere più a fondo concetti fondamentali, quali l'autoaggiuntezza degli operatori o le relative proprietà spettrali.
Tali abilità matematiche permetteranno di affrontare con più sicurezza le investigazioni proprie della fisica quantistica, e doteranno lo studente di un bagaglio di concetti e un linguaggio più rigorosi.
La migliore comprensione dei fondamenti matematici potrà inoltre favorire il successivo arricchimento culturale in campi affini.

Lezioni frontali

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato sopra, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Corsi matematici della laurea triennale, in particolare il corso di istituzioni di metodi matematici della fisica.
Sono richieste conoscenze di analisi reale e complessa, differenziazione e integrazione in una o più variabili, equazioni differenziali ordinarie, algebra lineare, geometria analitica. Inoltre conoscenza elementare della meccanica quantistica.

La frequenza è obbligatoria

Richiami di spazi vettoriali finito dimensionali, operatori lineari, problemi agli autovalori. Richiami di teoria della misura, spazi L^p. Spazi euclidei, e spazio di Hilbert, basi ortonormali. Operatori in spazi di Hilbert. Serie e trasformata di Fourier. Distribuzioni. Teoria spettrale e metodi di calcolo dello spettro.
Alcune equazioni alle derivate parziali della fisica matematica.

G. Fonte, Appunti di metodi matematici della fisica, Aracne
C. Rossetti, Metodi matematici per la Fisica, Levrotto & Bella.
G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, Springer.

Esame finale orale, in cui verrà valutata la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate, il livello di approfondimento dei contenuti esposti, la capacità di collegamento con altri temi oggetto del programma e con argomenti già acquisiti in corsi di anni precedenti, la capacità di riportare esempi, la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Spazi L^p, loro proprietà, relazioni di inclusione. Proprietà del prodotto scalare ed esempi di spazi euclidei. Teorema di Riesz-Fisher. Teorema di rappresentazione di Riesz. Categorie di operatori in spazi infinito-dimensionali e loro spettro. Autoaggiuntezza di operatori non limitati. Formule di upper e lower bounds per lo spettro di operatori autoaggiunti.